学习总结

公式 定理 附录 YO起来！

性质定理 二次型$x^{T}Ax$经坐标变换$x=Cy$得二次型$y^{T}By$，其中 $B=C^{T}C$，通俗的讲，就是 二次型矩阵经过任意的一次坐标变换得到新的二次型，前后二次型矩阵合同。 任一二次型都可经坐标变换变成标准型。 配方法 从$x_1$开始先合并再配方，将 f(x)⇒f(y) 正交变换法 例题 说明在正交变换下，A不仅与∧合同，而且A与∧相似 用正交变换化二次型为标准形 参考用正交矩阵相似对角化 若是求正负惯性指数，根据特征值即可得到（特征值是二次型二次项系数✅） 标准型到规范型 标准型到规范性与系数的大小无关，只与系数的正负相关，即正负惯性系数，注意先排序，依次“大于0，等于0，小于0…” 例题 第一问参数的求解用到标准型化成规范型的规律。 第二问的求解实际上就是正交矩阵相似对角化 正定 注意正定矩阵是二次型，所以正定矩阵必对称，检验正定之前，先检验对称性，即证明$A^{T}=A$ 正定必要条件 $a_{ii}>0$ |A| > 0 正定充分必要条件 顺序主子式全大于0 特征值大于0 正惯性指数 p=n $A=C^TEC$，其中C可逆 ▲ 经典例题 $(A^{T}A)^{T}=A^TA$，故$A^{T}A$实对称矩阵...

特征值与特征向量 性质 1.不同特征值的特征向量线性无关。 2.ｋ重特征值至多有ｋ个线性无关的特征向量。(※) 基本运算逻辑 三角矩阵特征值为主对角线元素⭐ 注意，当$\lambda=1$时😢 秩为1的矩阵A 特征值 $\sum_{aii},0,0…$ $A^n=\sum_{aii}^{n-1} A$​ 特征值证明： 求特征值不能先对A做任何变换，而应该带着λ变换 定义法 如果两矩阵相似 即 “两矩阵相似则具有相同特征值，特征向量也存在关系” 真题&例题 常识题？😢 关于AB=0引申出的一题多解 相似 AB相似，则 A+kE ~ B+kE 行列式相等 俩秩相等 特征值相等 绩相等 利用已知构造方程组求参，进行预处理 由 $A^n=PB^nP^{-1}$ 若取B为∧，容易求得$A^n$​的值。(其他方法) 特征值也存在关系。(特征值规律) 用相似的传递性证明两矩阵相似 A~∧ ⭐ A~∧，$A=P∧P^{-1}$则...

Ax=0 重点： n-r(A)，基础解系 Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow $​​ r(A) < n (未知数个数)$\Leftrightarrow $​​​ A的列向量线性相关 特别地(针对水平型阵和方阵)，※ A-m×n,m<n, Ax=0 必有非零解 A-n×n，Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow $​ |A|=0（克拉默法则） Ax=0有非零解，则其解线性组合必为Ax=0的解，所以Ax=0若有非零解，则必有无穷多解，在这无穷多解中，线性无关的解向量个数为 $t=n-r(A)$​​​​​，这就是基础解系​，基础解系是Ax=0的解向量中的极大线性无关组。此外，根据定理可知，Ax=0的任一解都可以由基础解系线性表出。 基础解系⭐ 是解 是线性无关组 个数t=n-r(A) 真题 【分析】“基础解系不存在”即为Ax=0没有非零解，根据 t=n-r(A) 知，本题等价转化为求解A的秩，求解秩时，找个大，找个小，通过夹逼，确定秩的值。 【解】$A^{*}\neq0$，则$r(A^{ *})\geq 1$​，则$r(A)\geq n-1$ Ax=b有解且不唯一，则$r(A) < n$ 联立得，r(A)=n-1 故t = n-r(A) = 1 ⭐⭐⭐⭐⭐ 【分析】根据通解的定义可知，若为通解，解必然线性无关，本题转化为证明 $a_1,a_2,a_3,a_4$哪三个线性无关 这里用到了“低维无关，添加向量后的高维必无关” 此外，如果本题为证明计算题（证明基础解系），即 求$A^{*}x=0$​ 的基础解系，则...

相关、无关 向量组中含零向量必然线性相关 组中至少存在两个成比例的向量必然线性相关 相关计算 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3…\alpha_s)$​ 是否线性相关？ $\Leftrightarrow$​​​ AX=0是否有非零解？(联系克拉默法则) $\Leftrightarrow$​​ r(A) < s 特别的，对于n维向量：⭐⭐ n个n维向量相关 $\Leftrightarrow$​ 行列式得0，即|A|=0 n+1个n维向量必然线性相关 此外，还有以下几何性质 “$\alpha$相关”$\Leftrightarrow$ $\alpha=0$ “$\alpha_1,\alpha_2$相关”$\Leftrightarrow$ $\alpha_1,\alpha_2$​共线 存在$\alpha_1=k\alpha_2$ “$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​相关”$\Leftrightarrow$​ $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​​共面 证明、选择 这是难点，重点 证明线性无关 ​ ⭐特征值不同的特征向量必线性无关。 此外，不同特征值中如果某一特征值存在“一对多”的关系，这些特征向量也线性无关。即若$A \alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A \alpha_2=\lambda_1\alpha_2,A \alpha=\lambda\alpha$，那么$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​线性无关​ 恒等变形中乘的思路： 利用已知构造出0使得式子变短 直接两边乘A，得出式子，然后通过两个式子的加加减减化简 真题&经典例题 本题第二问“写出和A相似的矩阵”(3分) 分析：$\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3$无关，后面出现$A\alpha_1，A\alpha_2，A\alpha_3$​想到相似...

基本计算 对角矩阵存在交换律，即 $\bigwedge_1 \bigwedge_2=\bigwedge_2 \bigwedge_1$​ 注意交换位置 对于 AB=C B & C均按列分块，则$A(\beta_1 \beta_2 \beta_3)=(\gamma_1 \gamma_2 \gamma_3)$，故B的列向量都是$AX=\gamma$ 的解，特别的，当AB=O即C=O时，B的列向量均是 $AX=0$ 的解。 B & C按行分块，则 AB的行向量均可由B的行向量线性表出。 A & C按列分块，则 AB的列向量均可由A的列向量线性表出。[2013] 规律1与解联系起来，尤其是AB=O推出B的列向量是Ax=0的解这一规律，除此之外AB=O也经常用r(A)+r(B)≤ n这个不等式。 “AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解) ​ 👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行) 规律2,3与线性表出关联，进而可以跟秩，向量组等价(能互相线性表出则等价)联系起来。 几个特殊符号 $a(a_1,a_2,a_3)^T$ 矩阵: $ab^T$ = $(ba^T)^T$ $r(ab^T)$​​ ≤ $r(a)$​ ≤ 1 任何两行成比例 $aa^T$: 对称矩阵 数: $a^Tb = b^Ta$: $ab^T$ 或 $ba^T$​​​的绩(主对角线元素之和)...

计算※ 数字型 题型 注意“存在三条对角线的情况”，通过 逐行相加 的到 “三角型”计算 经典例题 抽象型 题型 行列式性质恒等变形 矩阵公式、法则恒等变形，E恒等变形 形特征值、相似 经典例题 思路：利用单位矩阵恒等变形 思路一：利用矩阵相似（$\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3$无关，后面出现$A\alpha_1，A\alpha_2，A\alpha_3$想到相似） 利用乘法公式凑$PAP^{-1}=B$ 思路二：用行列式性质 思路：“不可逆”=>“行列式为0”=>观察看到为特征值形式$|\lambda E-A|=0$，利用特征值与行列式的关系求解 应用 特征值 思路 “消0且得公因式” 例题 对于特征多项式应两行（或列）加加减减，至多是三行（或列）的加加减减找出 $\lambda-a$ 的公因式，然后再解一个二次方程，就可求出矩阵A的三个特征值 克拉默法则 思路 不用来解大的方程组，常用小的证明题， 齐次方程AX=0有非零解→ |A|=0 齐次方程AX=0没有非零解→ |A|≠0 经典例题 “AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解) ​ 👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行)...

向量的空间管理，有静态和动态两种策略 静态空间管理策略 开辟内部数组_elem[]并使用一段地址连续的物理空间，_capacity表示总容量 ，_size表示当前的实际规模n，示意图如下： 若采用静态空间管理策略，容量_capacity固定，则有明显的不足… 上溢/overflow： _elem[]不足以存放所有元素，尽管此时系统往往仍有足够的空间 下溢/underflow： _elem[]中的元素寥寥无几，装填因子 λ = _size / _capacity « 50% 动态空间管理策略 在即将上溢时，适当扩大内部数组的容量 递增策略 当需要扩容时，为_capacity追加固定大小的空间，即 T* oldElem = _elem; _elem = new T[ _capacity += INCREMENT ]; 考虑最坏情况，在初始容量为0的空向量中连续插入n = m*I个元素 那么，在第1，I+1，2I+1，3I+1…次插入元素时都需要扩容，表示为 倍增策略 当需要扩容时，增加_capacity 为原来的两倍，即 T* oldElem = _elem; _elem = new T[ _capacity <<= 1 ]; 考虑最坏情况，在初始容量为1的空向量中连续插入n = 2^m个元素 那么，在第1，2，4，8…次插入元素时都需要扩容，表示为 两种策略的复杂度分析 考虑最坏的情况，两种策略的复杂度分别为 递增策略： 为算术级数，0+I+2I+…=O(n ²) 倍增策略： 为几何级数，1+2¹+2²+2³+…=O(2^m)=O(n) 递增策略 倍增策略 累计时间 O(n ²) O(n) 分摊时间 O(n) O(1) 装填因子 λ ≈100% >50% 可以看出，倍增策略在牺牲空间的基础上，换取时间上的巨大提升，可采取√...

减而治之(Decrease and conquer) 什么是“减而治之”？ 为求解一个大规模的问题，可以将其划分为两个问题，其一平凡，另一规模缩减 ，分别求解子问题，由子问题的解得原问题的解 比如说，对于一个数组A的求和问题，可以设计如下的算法 sum( int A[], int n ) { return n < 1? 0 : sum(A, n - 1) + A[n - 1]; } 当规模缩减到一定程度后，抵达递归基，返回0 复杂度分析 1. 递归跟踪 绘出计算过程中出现过的所有递归实例（及其调用关系） ，那么它们各自所需时间之总和，即为整体运行时间 上例中，共计n+1个递归实例(分析)，各自只需O(1)时间 故总体运行时间为： T(n) =O(1) × (n+1) =O(n) 2.递推方程 对于大规模的问题、复杂的递归算法，递归跟踪不再适用 此时可采用另一抽象的方法… 在本例中，有T(n)=T(n-1) + O(1),T(0)=O(1) 则，T(n) = T(n-2)+O(2) = T(n-3)+O(3) = T(n-n)+O(n)=O(n) 可以看到，两种分析方法的出来复杂度都为O(n) 分而治之(Divide and conquer) 什么是“分而治之”？...

导论 所谓算法，即特定计算模型下，旨在解决特定问题的指令序列。输入：待处理的信息（问题）输出：经处理的信息（答案） 正确性 的确可以解决指定的问题 确定性 任一算法都可以描述为一个由基本操作组成的序列 可行性 每一基本操作都可实现，且在常数时间内完成 有穷性 对于任何输入，经有穷次基本操作，都可以得到输出 ::: tip Algorithms + Data Structures = Programs (Algorithms + Data Structures) x Efficiency = Computation ::: 如何评判算法的其优劣(计算模型) 实验统计是最直接的方法，但足以准确反映算法的真正效率？不足够！ - 不同的算法，可能更适应于不同规模的输入 - 不同的算法，可能更适应于不同类型的输入 - 同一算法，可能由不同程序员、用不同程序语言、经不同编译器生成 - 同一算法，可能实现并运行于不同的体系结构、操作系统… 为给出客观的评判，需要抽象出一个理想的平台或模型 - 不再依赖于上述种种具体的因素 - 从而直接而准确地描述、测量并评价算法 1.图灵机模型(TM) 组成 说明 Tape 依次均匀地划分为单元格 各存有某一字符，初始均为'#' Head 总是对准某一单元格，并可 读取或改写其中的字符。每经过一个节拍，可 转向左侧或右侧的邻格 Alphabet 字符的种类有限 State TM总是处于有限种状态中的某一种 。每经过一个节拍 可按照规则转向另一种状态 。统一约定，‘h’ = halt(停止) 2....